3 PROLOGO IMPRESO EN EL PERU Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor* libros 3a EDICIÓN Eduardo*Espinoza Ramos Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún m étodo gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor. DERECHOS RESERVADOS D.L. N 822 Derechos copyright Edukperu 2009 reservados RUC N Ley de Derechos del Autor N Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número N La presente obra intitulada Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario del libro de Makarenko y otros autores, en su 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos
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6 Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. sen* 11.- y = , xy'+y = eos* x y - scn y'= x cos* se.n. 9 reemplazando en la ecuación dada. jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen* X 2 * y v2 * senx senx = eos X eos X X X 12.- >>= ce 2jr+, y + 2j = e*.*. xy'-hy = cosx _ c e 2jr + _ => y = - 2c e _2jr +, reemplazando en la ecuación dada. i "\lp fii- X ex y'+2y = -2celx + + 2ceZr +2 = ex 3 3 y'+2y = ex 13.- >>= 2 + c V l- x 2, ( l- jc 2)y+xy = 2x (l- jr 2).y'+jrv = - ( l - x 2) ^ = r + x(2 + cv l-x 2) = - V l- x 2cc + VT- x 2cx + 2x V l-j -x j = x V l- x 2", >y = x - 2 x 3 (1 - j t 2)j^'+jcv = 2jc.y = W l - * 2 => / = V l - x 2 í = T 2* V i- * 2 V i- * 2 r. 5". 1 2jc, = W l - s (, ) = s - 2 x , =, x/= > ;tg(lnj;) j; = ^aresener ^ l = aresenex 'Jl-(cx)2 >y' = JC-2:c3 Xce*mcx xcy xy - r - - = ^ = tg(ln_v).^ V1 (cx)2 -Jl-(cx)2 x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => tg(lny) = v h ^ F y = 2 + cv i- * 2 => y= -ex f* ^ = e J0 dt+cex > y'-y = e 2 3
9 x = t2 +e' 3 s x\ * = 2 t + e' y = * -+ (,-l)e y'(t) = 2t2 +e' + (í-l)e ' =t( 2t + e ) 28.- y = ln(c+ex), y'= exy, y\ t(2t+e'),, y = = / = > / = í x\ 2t + e y 2+ey' = t2 +el = x y'2+ey = x Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas. las ecuaciones y - ln(c+ex)=t> y = , además c+ ex ex ex y' = e '- ' => y = exy c+ex ey 29.- y = -Jx2 -ex, (x2 + y2)-2xy-0 y=ln(c + ex)=>c + ex = ey 26.- y = , y'-tgx.y = 0 cosx y = 4 * 2 - ex => = rl :. c x 1 -ex y y'' = c sec x. tg x, reemplazando en la ecuación cosx Q y'-tgx.y = csecx.tgx-tgx = c.secx.tg x -csecx.tg.t = 0 cosx y - t g x.^ = 0 (2x-c)-2^Jx2 -cx = 0, dedonde (2x2 -xc)-2xy = 0 (x2 -x c + x 2)-2xy = 0 entonces (y2 +x2)-2xy = j = x(c-ln j: ), (x - y) + x = = y'= 3y2 3x + c y = x(c lnjxj) => = (c-\v\x\)- x = x(c-\n\jfy-x, como y - x{c- lnjx ) entonces: i y = - y = 3x + c (3x + c) 3 / = = 3( ) 2 = 3(-y)2 = 3y2 (3x + c) 3 x+c y'= 3y2 31) x = y e * * \ / = x (ln x -ln ^ ) x = y d x -x d x => (x-y) + x = 0 8 9
10 x - y e \n x-\n y = cy + \ => ln = cy + \, dedonde ( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). x = yev +l => e ^ 1 = - 33) ey -ex = 1, jty'+l = ey jc = l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( / = (in x -ln.y )y 1 = (ln jc -ln y )/ entonces: y'= - ^ x (ln x -ln y ) 32) * = >>lncy, / ( * + >>) =.V x ey x = yhicy => = lncy => = c, derivando se tiene: y y y e h * ^ f ) - y ' y y _ x y ' = 0 simplificando / = 0 => y-xy'-yy'=0 y y '(x+ y)y'= y ey -1 e y - ex - 1 => = c derivando x -xeyy'-(ey -\) n _v, _v = 0 => -xe y y - e y +1 = 0 x xy'+ l-ey = 0 => xy'+l = ey, a\ 3 1 c 2 j 3 f *4) y, xy + y = X Xó X >>3 = + r- => x 3y 3- x 2 = c, diferenciando se tiene: x x 3 La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. 3x2y 3 + 3x3y 2-2x = 0 => xy2 + x 2y = Luego no es integral de la ecuación. 3 y El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación = f(x,y) se considera también la ecuación = - * f(x,y) 10 35) x 3-4x2y+2xy2 - y 3 = 0, (3x2-8xy + 2y2)-(4x2-4xy + 3y2) = 0 x 3 4x2y + 2xy2 y 3 = 0, diferenciando se tiene: 3x2 - Sxy - 4x 2 + 2y2 + 4xy - 3y2-0 11
26 Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 133) ln/=x 130) cosyf = 0 ln y'=x => y'=ex K Como y eos y '= 0 => / = arccoso = (2n + l) = ex => j = Je x => y = ex +c = (2+ l) => = (2n + l), integrando. 2 2 y = ^(2n + l)x + c, n e Z. 134) t g / = 0 t g / = 0 => y = arctgo = nn 131) ey = l = nn=> = nn integrando y = nrc + c ey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c 135) =jc donde c es constante. 132) s e n / = x s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces: = arcsenjt +w;r de donde y = (arcsenx + w7r) /x e x ^ y =\nx de donde = lnx, ahora integrando j = Jlnx => y = x l n x - x + c 136) tgy'=x tgy' = x => y'= aictgx+nn, n = 0, 1, 2,... integrando J = J (aresen x + n n) + c = (aiclgx+nn) integrando se tiene y = jtarc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0, l, 2,. y = ^{ttctgx + njz)+c entonces: y = x2xctgx-^\n(\ + x 2) + njtx + c 43
27 En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo., ) x y'eos>>+ 1 = 0, y -> n => x-+ o 139) jr3y -s e n y = 1, y-*5it => x-h-oo x 3y sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y, separando la variable x x 2v co sy + l = 0 => cos>'.>' + - 1r- = 0, separando la variable r r = r integrando = + c 1+sen.y x * l+senj> J x 1 eos y H r- = 0, integrando sen>> + c x x 16 16. 1 l6n cuando y -* n parax->+oo => c = sen luego sen.y- -se n ^ 2x para y-+5n, x -H-oo => c = 1 por lo tanto y = 2 arctg(l i ) 140) (l + x2)y - c o s 22y = 0, y ^ti, x->-oo ) x 2/+ c o s 2 ^ = l, y-+ n => x->+*> x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable = => = j integrando l - c o s 2>' x 2 2 sen y x f = l ^r c de donde ctgy= + c J sen2 y x x 10 1 cuando y -* n, x H-ao => c - j Luego ctgy = + j^ => y - arct^ T+ ^J'* (l + x2)y --c o s2 2^ = 0, separando la variable se tiene: = 0 integrando = k eos 2y 2(1+ x ) 2 2 y tg 2y - arc.tg x = c cuando y - n, x ->-oc => c = 2 2 tg 2y - arctg x = => tg 2y = - + arctg x => y = arctg( + arctg x) ) ey =e4y y'+1, y es acotada para x >+oo 44 45
29 [ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad. El método indicado no es aplicable cuando las rectas a x + b{y + cx = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, p en este caso = ^ - = A a la ecuación (2) se ax bx puede escribir en la forma: _ axx + bxy + cx x ^ f x r ) = F(axx + bxy) Á(axx + bxy) + c2... (3) que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. Una ecuación diferencial de la forma = f(x, y ), se denomina homogénea si f(x,y) es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma: H Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma: P(x,y) + Q(x.,y) = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. Introduciendo una nueva variable incógnita ecuación con variable separable: x... (1) u = , la ecuación (1) se reduce a la A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = za, esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 a la derivada. Observación.- du, x x- = \ /(u)-u Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux. Integrar las Ecuaciones: 145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Las ecuaciones diferenciales de la forma: _ ^ axx-\-bxy + cl ^... (2) a2x + b2y + c2 se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de intersección de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 ; y esto se consigi haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0, y = w + y 48 Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y = ux => = u + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: (4x - 3y) + (2y - 3x)=0, ahora reemplazando se tiene: (4x - 3ux) + (2ux - 3x)(u + xdu) = 0, simplificando (4-3u) + (2u - 3)(u + x du) = 0, agrupando 49 2ff7e9595c
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